Constance Kamii e a reivenção da aritmética

Dona de uma vasta obra, tanto no campo da psicologia da aprendizagem como no do desenvolvimento curricular para o pré-escolar, Constance Kamii foi uma das pensadoras que mais se destacaram a promover e adaptar o pensamento de Jean Piaget à educação.

Piaget não era um educador, era um investigador da aprendizagem ou, como ele dizia, da epistemologia genética. Tendo trabalhado com ele em vários períodos intercalados, pôde aprimorar uma esfera de intervenção educativa, especialmente no campo pré-escolar.

Kamii é autora de obras como Piaget para a Educação Pré-escolar ou Jogos em Grupo na Educação Infantil, mas interesa-nos aqui aquelas ligadas à educação matemática, em especial A Criança e o Número e os três livros que têm no título a menção da reinvenção da aritmética por parte das crianças, que são mais recentes.

Quando A Criança e o Número foi publicado, tornou-se automaticamente uma referência para todos aqueles interessados na educação matemática elementar. Na altura (há cerca de 30 anos), as obras sobre o número para crianças em idade pré-escolar eram escassas e a clareza da apresentação das ideias de Piaget ajudaram imensamente sua popularização.

A obra traz uma ideia inovadora que ainda hoje não está inteiramente assimilada e compreendida pelos educadores. Trata-se da noção de inclusão hierárquica. O número 8, como sabemos, corresponde tanto a uma quantidade (é o cardinal de qualquer conjunto contendo oito objetos) quanto ao indicador de posição num conjunto ordenado contendo oito elementos. Neste caso, corresponde a uma ordem e é chamado de número ordinal. No caso anterior chamamos de número cardinal.

Sabemos que o número ordinal, qualquer um deles, tem relação com o número ordinal que o precede e com o que lhe segue. Ora, o que Kamii acabou por dizer é que esse número cardinal, normalmente considerado de forma isolada, não está ligado ao que o precede somente por uma relação de ordem, mas também de inclusão. Ou seja, um número cardinal qualquer contém o número cardinal que o precede e está contido no número cardinal que o segue.

Em matemática, isso não é verdade dito dessa forma simplista. Mas sabemos que a psicologia da aprendizagem não tem de se ater à formalidade matemática, pode olhar para lá desse formalismo. E, olhando para o que as crianças pensam e para o que têm de aprender, faz sentido que elas verdadeiramente compreendam o número cardinal quando o entendem como incluindo os números cardinais anteriores.

O valor posicional e os algoritmos

Constance Kamii descreve em vários dos seus livros uma tarefa escolar para ajuizar o grau de compreensão da criança em relação ao valor posicional e também como forma de situar o pensamento do aluno relativamente ao número ordinal e número cardinal.

A descrição completa pode ser encontrada, por exemplo, em Reinventando a Aritmética. Antes de partir para uma versão simplificada o suficiente para a compreensão do assunto, cabe esclarecer que por valor posicional se entende o valor que um algarismo possui por ser colocado numa posição em particular.

O algarismo 2, quando colocado na posição das unidades, vale 2, mas, quando colocado na posição das dezenas, vale 20 e, na posição das centenas, vale 200… Ou seja, não é a mesma coisa escrever 12 ou 21, apesar de ambos conterem os mesmo algarismos.

Basicamente, nessa tarefa a criança era orientada, a partir de 16 rodas, a desenhar quatro carros, contar o número de rodas e escrever o numeral 16. Depois lhe eram colocadas questões sobre a relação de cada um dos numerais (1, 6 e 16) com as rodas que tinham sido desenhadas.

As respostas das crianças foram agrupadas em cinco níveis: os dois iniciais eram prévios à noção de número ordinal; o terceiro correspondia ao nível de número ordinal, mas não cardinal; o quarto nível era relativo ao nível de número cardinal, mas sem a compreensão do valor posicional; finalmente, o quinto dizia respeito ao nível de compreensão de valor posicional.

Tipicamente, quando se pedia à criança que indicasse a que correspondia o numeral 6, se ela respondesse uma das rodas (a sexta) estaria no nível ordinal, mas, se indicasse um grupo de seis, estaria no nível cardinal. Por outro lado, quando lhe perguntassem a que correspondia o numeral 1, se ela respondesse indicando um grupo de dez rodas em vez de uma roda, teria assimilado o valor posicional.

Os resultados obtidos por Mieko Kamii foram bastante fracos e Constance Kamii continuou o estudo em outra área nos Estados Unidos, tendo os resultados mantido a mesma consistência negativa. Essencialmente, só na 4ª série ela encontrou metade das crianças a responder corretamente à questão ligada ao valor posicional e mesmo na 8ª série uma em cada cinco crianças não conseguia responder corretamente.

A partir desses resultados e de outros semelhantes, Constance Kamii acabou defendendo que os algoritmos adicionais não fossem ensinados no Ensino Fundamental, devendo os professores deixar as crianças desenvolverem seus próprios métodos, os quais, evidentemente, já compreenderiam por ter sido elas a inventar. Essa posição bastante radical valeu-lhe alguma desconfiança por parte da comunidade de educação matemática e uma feroz oposição por parte de setores ligados a uma visão mais tradicional.

O uso de jogos no ensino da matemática

Um dos interesses que Kamii revelou desde o início da sua carreira foi sobre o uso de jogos em educação. Um dos seus primeiros livros abordava jogos de grupo na Educação Infantil. Posteriormente, na sua série de três livros sobre a reinvenção da aritmética, voltou aos jogos como forma didática de excelência para o ensino da aritmética.

É importante aqui refletir sobre o que psicólogos e educadores pensavam sobre a função e valor dos jogos em educação. Piaget via-os como úteis na consolidação de conhecimentos. Através deles, a criança pode praticar conhecimentos recentemente adquiridos (assimilação) e, dessa forma, cumpre-se o processo de equilibração.

Vigotsky via a questão de forma diferente. Para ele, e de forma especial no período pré-escolar, o jogo despoleta a zona de desenvolvimento proximal, ficando a criança mais receptiva e mais capaz de desenvolver novos conhecimentos enquanto joga. Assim, para ele, o jogo permite o desenvolvimento de novos conhecimentos ou capacidades no seu decurso.

Já para Bruner, ele é um precursor da aprendizagem por meio da criação de um mapa mental dos materiais ou de contextos ligados a problemas, permitindo-lhes uma mais fácil aprendizagem ou uma mais bem-sucedida resolução de problemas.

Um bom exemplo da aplicação desse princípio era o de Zoltan Dienes, que, tendo inventado vários materiais (blocos lógicos, material multibásico), no seu método pugnava pela introdução de jogos com os materiais para um mais fácil uso pedagógico posterior.

Entre essas três visões, Kamii vai ao encontro de ideias de Piaget e propõe a substituição dos exercícios muito usados no Ensino Fundamental, especialmente na aritmética, por jogos cuidadosamente seleccionados e testados. Aos poucos, vai construindo um currículo para a aritmética nos três primeiros anos baseado em jogos de tabuleiro ou de cartas, em que as crianças vão treinando as competências requeridas nesses anos.

O valor dessa abordagem é óbvio e fica como um dos legados que se espera sejam verdadeiramente duradouros para a educação matemática elementar.

Quem foi Constance Kamii?

Constance Kamii nasceu em Genebra, na Suíça, tendo frequentado a escola elementar em seu país e no Japão. Posteriormente, viveu nos Estados Unidos, onde realizou estudos de Escola Secundária e Superior e defendeu sua tese de doutorado, em 1965, na Universidade de Michigan.

Nela estudou as implicações educacionais das diferenças de classe nas mães de crianças negras no pré-escolar.
Trabalhou após o doutoramento com Jean Piaget, alternando períodos em Genebra com outros nos EUA, onde prosseguia a sua carreira, durante os 15 anos seguintes ao doutorado.

Um dos postos iniciais que ocupou foi no projeto Perry do pré-escolar, tendo aí tentado desenvolver um currículo baseado no pensamento de Piaget.

Aos poucos começou, dentro do pré-escolar, a especializar o seu estudo, primeiro na aprendizagem em Ciências, depois no campo dos jogos e, finalmente, na aprendizagem matemática e, dentro desta, no campo do Numero e Numeração.

Partiu então para o ensino primário, no qual tentou construir um currículo para o Numero baseado nas suas ideias, tendo Piaget como base e o jogo como instrumento privilegiado.

Algumas das suas posições foram consideradas polêmicas, especialmente as relativas aos algoritmos, mas também tornaram-na amplamente conhecida na comunidade de educação matemática.

* Pedro Palhares é professor associado do Instituto de Educação da Universidade do Minho

Saiba Mais
A Criança e o Número. Campinas, SP: Papirus.

Reinventando a Aritmética – Implicações da teoria de Piaget. Campinas, SP: Papirus.