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Área de figuras não planas

Certa ocasião, eu estava em uma roda de amigos, todos na faixa de 40 a 50 anos, e resolvi perguntar o que cada um se lembrava da escola sobre o cálculo da área de figuras planas. A amostra de pessoas ali presentes não deve ser tomada como relevante para conclusões estatísticas, mas, ainda assim, vale a pena comentar os resultados, que são bem interessantes.


Todos os presentes sabiam calcular a área de retângulos e quadrados, sem problemas. Perto de dois terços das pessoas se lembravam de certo mantra dizendo que a área do triângulo era igual à “base vezes altura dividido por dois”, porém, poucos foram os que conseguiram identificar um par base/altura em um triângulo obtusângulo para o cálculo da área.

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A situação piorou quando perguntei sobre paralelogramos, losangos e trapézios: menos de um terço das pessoas citou algum tipo de caminho convincente para o cálculo da área dos polígonos.

Fechei minha “pseudopesquisa”, perguntando se alguém seria capaz de sugerir alguma estratégia para o cálculo da área de uma figura bem irregular, que desenhei em um guardanapo de papel.

Os engenheiros do grupo foram os únicos a se manifestar. Todos citaram o cálculo integral, matéria estudada nos primeiros anos dos cursos de Ciências Exatas, que, dentre outras aplicações práticas, permite o cálculo de áreas quando conhecemos razoavelmente bem as equações associadas à curva fechada em questão.

A esse pequeno grupo fiz minha pergunta final: qual é a equação associada à figura desenhada, para que possamos aplicar ferramentas de integração no processo para obtenção da sua área? Por alguns instantes fez-se silêncio, e dali não conseguimos avançar muito na discussão.

Se, por um lado, o assunto perdeu interesse devido à dificuldade que o problema passou a apresentar, por outro, todos ficaram curiosos em saber se existe alguma estratégia matemática para o cálculo de figuras “malcomportadas”, como aquela desenhada no guardanapo.

Há, sim, formas de calcular a área de figuras “malcomportadas”, e elas são acessíveis a todos, sem necessidade do cálculo diferencial e integral. Usei a palavra “formas”, no plural, porque há mais de uma maneira de propor saídas para esse problema.

Comecemos por um método simples, que permite estimar a área da figura. Em primeiro lugar, teremos de desenhar a figura sobre uma malha quadriculada e contar os quadrados que estão totalmente dentro da figura. É claro que a soma desses quadrados ainda não representa a área da figura, porque no seu interior ainda existem “pedaços de quadrados” da malha que não foram contados. O desafio agora passa a ser o de estimar a área desses “pedaços” e, para isso, proponho uma estratégia relativamente simples, ainda que não absolutamente precisa.

Comece contando os quadrados localizados no contorno da figura e que ainda não foram somados como quadrados inteiros no seu interior. Se você pensar um pouco sobre esses quadrados que foram contados, parte deles contribui para a área total da figura com cerca de “menos do que a metade” de um quadrado da malha, e parte deles contribui com cerca de “mais do que a metade” de um quadrado, como ilustra a figura ao lado:

Admitindo que, em média, temos metade dos quadrados marcados no contorno da figura em uma das duas situações, e metade na outra, podemos estimar a área total da figura como sendo a soma dos quadrados da malha que estejam totalmente no interior da figura com “metade” do total de quadrados do contorno da malha que ainda não foram contados como quadrados inteiros dentro da figura.

No caso da figura proposta, estimaríamos sua área por meio da conta 37+(42:2), ou seja, em 58 quadrados da malha. Se cada quadrado da malha tem área de 1 cm2, então a área aproximada da figura será de 58 cm2.

Alguns puristas talvez estejam se perguntando: isso é matemática?

Sim, isso é matemática. Mais especificamente, é estatística. Poderíamos sofisticar a discussão investigando as condições em que esse método de estimar a área é mais ou menos preciso, mas optarei nas linhas adiante em seguir por outro percurso, em atenção aos puristas que talvez estejam querendo um método menos impreciso. Vamos a ele.

Na mesma malha quadriculada que você desenhou a figura “malcomportada”, desenhe agora um retângulo cujo interior esteja totalmente contido em quadrados da malha.

Por exemplo, pode ser um retângulo de 10 quadrados (no comprimento) por 4 quadrados (na largura), cuja área será igual a 40 quadrados da malha. Agora, recorte em papel cartão um molde desse retângulo e um molde da figura “malcomportada”, cuja área estamos tentando calcular. Pese em uma balança de razoável precisão cada um desses moldes e estabeleça uma proporcionalidade direta entre a massa obtida (em gramas) e a área da figura (na unidade “quadrados da malha”).

Por exemplo, se a balança acusar que a massa do retângulo é de 8,4 gramas, segue que cada quadrado da malha (em papel cartão) corresponde a “8,4 dividido por 40” gramas, ou seja, 0,21 g. Agora, considerando que a balança acuse massa de 11,6 gramas para a figura “malcomportada”, então sua área poderá ser obtida por meio da conta 11,6 dividido por 0,21, ou seja, aproximadamente, 55 quadrados da malha.

Note que, nesse caso, a estimativa anteriormente feita pelo método de contar quadrado na malha não foi tão ruim, com um erro de cerca de 5% em relação ao cálculo da área feito por meio da balança, que costuma ser mais preciso se os recortes das figuras forem feitos de forma cuidadosa, e se a balança for boa.

O método de uso de balanças para medir áreas é bem conhecido desde a Antiguidade. Em particular, no período renascentista, o matemático italiano Galileu Galilei (1564-1642) usou esse método para estimar a área de uma figura gerada por uma cicloide (trajetória percorrida por um ponto de um disco que rola sobre uma superfície plana com velocidade uniforme).

Por fim, vale a pena comentar que os matemáticos costumam ter nas mãos um arsenal diversificado e sofisticado para o cálculo da área de figuras “malcomportadas”. As armas usadas vão desde ferramentas estatísticas (método Monte Carlo), até o cálculo diferencial e integral.

No caso do cálculo diferencial e integral, um importante resultado, conhecido como Teorema de Green, é o fundamento teórico utilizado na concepção de um fascinante instrumento denominado planímetro.

Planímetros permitem o cálculo da área de uma figura plana simplesmente fazendo com que o instrumento percorra mecanicamente o contorno que delimita a figura. Planímetros são utilizados por topógrafos, cartógrafos, engenheiros e arquitetos para o cálculo da área de figuras irregulares desenhadas sobre mapas e plantas.

*Graduado e mestre pela USP, professor de Matemática do Colégio Santa Cruz, membro do Comitê Editorial da Revista do Professor de Matemática (SBM)

*Publicado originalmente em Carta Fundamental